量子测量理论
Intro
假定系统的初始状态为 $|\psi\rangle$, 那么对应的密度矩阵为其投影算符 $\hat{\pi} = |\psi\rangle\langle\psi|$.
我们将物理量算符展开为投影算符形式:
$$ \hat{R} = \sum_{n}r_{n}|\varphi_{n}\rangle\langle\varphi_{n}| = \sum_{n}r_{n}\hat{\pi}_{n} $$
我们已经知道, 如果要对态 $|\psi\rangle$ 测量物理量 $\hat{R}$, 那么测得结果为 $r_{n}$ 的概率为
$$ p_{n} = |\langle\psi|\varphi_{n}\rangle|^{2} = \langle\psi|\varphi_{n}\rangle\langle\varphi_{n}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle $$
并且我们测得结果为 $r_{n}$ 后, 系统的状态必定为 $|\varphi_{n}\rangle$. 此时的密度矩阵为
$$ \hat{\rho}_{n} = |\varphi_{n}\rangle\langle\varphi_{n}| = \frac{|\varphi_{n}\rangle \color{red}{p_{n}}\langle\varphi_{n}|}{\color{red}{p_{n}}} =\frac{|\varphi_{n}\rangle\color{red}{\langle\varphi_{n}|\psi\rangle\langle\psi|\varphi_{n}\rangle}\langle\varphi_{n}|}{\color{red}{\langle\psi|\varphi_{n}\rangle\langle\varphi_{n}|\psi\rangle}} =\hat{\pi}_{n} $$
如果只是测量但是结果未知, 即 非选择性测量, 那么测量后的系统状态为物理量 $\hat{R}$ 所有本征态的概率叠加:
$$ \begin{aligned} \hat{\rho} = \sum_{n}p_{n}|\varphi_{n}\rangle\langle\varphi_{n}| = \sum_{n}p_{n}\frac{\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle\langle\psi|\hat{\pi}_{n}}{\langle\psi|\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle} = \sum_{n}\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle\langle\psi|\hat{\pi}_{n} \end{aligned} $$
将该讨论推广到混合态的情况:
$$ \hat{\rho} = \sum_{k}\omega_{k}|\psi_{k}\rangle\langle\psi_{k}| $$
那么测量得到 $r_{n}$ 的概率为
$$ p_{n} = \text{Tr}\left(\hat{\rho}\hat{\pi}_{n}\right) = \sum_{k}\omega_{k}\langle\psi_{k}|\hat{\pi}_{n}|\psi_{k}\rangle $$
结果为 $r_{n}$ 时, 系统的状态为
$$ \hat{\rho}_{n} = |\varphi_{n}\rangle\langle\varphi_{n}| = \frac{|\varphi_{n}\rangle p_{n}\langle\varphi_{n}|}{p_{n}} = \frac{\left|\varphi_{n}\rangle \left(\sum_{k}\omega_{k}\langle\psi_{k}|\hat{\pi}_{n}|\psi_{k}\rangle\right)\langle\varphi_{n}\right|}{\text{Tr}\left(\hat{\rho}\hat{\pi}_{n}\right)} = \frac{\hat{\pi}_{n}\hat{\rho}\hat{\pi}_{n}}{\text{Tr}\left(\hat{\rho}\hat{\pi}_{n}\right)} $$
如果是非选择性测量, 则测量后的系统状态为 $\hat{R}$ 所有本征态的概率叠加:
$$ \hat{\rho} = \sum_{n}\hat{\pi}_{n}\hat{\rho}\hat{\pi}_{n} $$
在上面的讨论中, 投影算符 $\hat{\pi}$ 经常出现, 所以量子系统的测量被称为 投影测量.
冯诺依曼测量理论
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仪器的初态为基态 $|0\rangle$, 微观系统和测量仪器耦合为复合系统, 初始状态为 $|\psi\rangle\otimes|0\rangle$;
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测量过程分为两步: (1)系统和仪器相互作用, 使得仪器的态变化; (2)测量仪器的状态;
当系统处于 $\hat{R}$ 的本征态 $|\varphi_{n}\rangle$ 下, 都会对应一个仪器态张成的 Hilbert Space 中的幺正变换 $\hat{u}_{n}$, 这代表了仪器状态的演化方式. 即当系统的状态为 $|\varphi_{n}\rangle$, 则仪器的态为 $|\zeta_{n}\rangle = \hat{u}_{n}|0\rangle$.
$\{|\zeta_{n}\rangle\}$ 被称为仪器的 指针状态(Pointer states).
现在我们构造复合系统的幺正变换:
$$ \hat{U} = \sum_{n}\hat{\pi}_{n}\otimes\hat{u}_{n} $$
$\hat{\pi}_{n}$ 作用在系统上, $\hat{u}_{n}$ 作用在仪器上.
$\hat{U}$的幺正性
$$ \hat{U}\hat{U}^{\dagger} = \hat{U}^{\dagger}\hat{U} = \hat{I}\otimes\hat{I} $$
所以有
$$ \text{初态:}|\Psi\rangle = |\psi\rangle\otimes|0\rangle\\ \Downarrow{\text{演化}}\\ \text{终态:}|\Psi’\rangle = \hat{U}|\psi\rangle\otimes|0\rangle = \sum_{n}\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle\otimes|\zeta_{n}\rangle $$
在一般情况下不同的演化算符 $\hat{u}_{n},\hat{u}_{m}$ 之间没有关系, 为了研究方便, 可以假设指针状态之间彼此正交, 即
$$ \langle\zeta_{m}|\zeta_{n}\rangle = \langle 0|\hat{u}_{m}^{\dagger}\hat{u}_{n}|0\rangle = \delta_{mn} $$
现在对仪器的这一系列指针状态 $\{|\zeta_{n}\rangle\}$ 进行投影测量. 那么测量得到 $|\zeta_{n}\rangle$ 的概率为
$$ p_{n} = \langle\Psi’|\left(\color{lightblue}{\hat{I}\otimes|\zeta_{n}\rangle\langle\zeta_{n}|}\right)|\Psi’\rangle = \langle\psi|\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle $$
$\color{lightblue}{\hat{I}\otimes|\zeta_{n}\rangle\langle\zeta_{n}|}$ 的意思是测量了仪器而没有对系统产生任何作用.
如此测量得到 $|\zeta_{n}\rangle$ 后复合系统的状态变为
$$ (|\varphi_{n}\rangle\otimes|\zeta_{n}\rangle)(\langle\varphi_{n}|\otimes\langle\zeta_{n}|) = \hat{\pi}_{n}\otimes|\zeta_{n}\rangle\langle\zeta_{n}| $$
同理, 如果测量后结果未知, 则复合系统的状态为
$$ \hat{\rho}^{\text{Total}} = \sum_{n}p_{n}\hat{\pi}_{n}\otimes|\zeta_{n}\rangle\langle\zeta_{n}| = \sum_{n}\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle\langle\psi|\hat{\pi}_{n}\otimes|\zeta_{n}\rangle\langle\zeta_{n}| $$
如果我们只关心系统的状态, 我们可以求系统的约化密度矩阵, 也就是对 $\hat{\rho}^{\text{Total}}$ 求仪器部分的 Hilbert Space 进行求迹:
$$ \hat{\rho} = \text{Tr}\left(\hat{\rho}^{\text{Total}}\right) = \sum_{n}\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle\langle\psi|\hat{\pi}_{n} $$
广义测量理论
我们假定指针状态 $\{|\zeta_{n}\rangle\}$ 之间彼此正交, 但是实际情况下并非如此(比如, 仪器可能并不完美). 我们可以设法指针的状态可以由另一组彼此正交的状态 $\{|\eta_{n}\rangle\}$ 进行线性表示. 这种处理被称为 广义测量.
所以我们将仪器的指针状态 $|\zeta_{n}\rangle$ 使用正交基 $\{|\eta_{m}\rangle\}$ 进行展开:
$$ |\zeta_{n}\rangle = \sum_{m}C_{nm}|\eta_{m}\rangle $$
所以复合系统的状态也可以展开为正交基 $\{|\eta_{m}\rangle\}$ 的形式:
$$ |\Psi’\rangle = \hat{U}|\psi\rangle\otimes|0\rangle = \sum_{n}\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle\otimes|\zeta_{n}\rangle = \sum_{n,m}C_{nm}\hat{\pi}_{n}|\psi\rangle\otimes|\eta_{m}\rangle = \sum_{n}\hat{M}_{n}|\psi\rangle\otimes|\eta_{n}\rangle $$
$$ \hat{M}_{n} = \sum_{m}C_{mn}\hat{\pi}_{n} $$ 被称作 Kraus 算符.
通常不具有幺正性.
但是复合系统的演化算符 $\hat{U}$ 满足幺正要求, 所以 $|\Psi’\rangle$ 具有归一性:
$$ \langle\Psi’|\Psi’\rangle = \sum_{m,n}\langle\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{m}|\psi\rangle\langle\eta_{n}|\eta_{m}\rangle = \sum_{m,n}\langle\psi|\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{m}|\psi\rangle\delta_{nm} = \sum_{n}\langle\psi|\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{n}|\psi\rangle = 1 $$
因为对任意 $|\psi\rangle$ 都满足, 所以需要有
$$ \sum_{n}\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{n} = \hat{I} $$
为了方便, 可以引入正算符值测度(POVM):
$$ \hat{E}_{n} = \hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{n} $$
POVM 的性质
- 厄密性 $$ \hat{E}_{n}^{\dagger} = \hat{E}_{n} $$
- 正定性 $$ \forall |\psi\rangle,\quad\langle\psi|\hat{E}_{n}|\psi\rangle\geq 0 $$
- 完备性 $$ \sum_{n}\hat{E}_{n} = \hat{I} $$
广义测量结果为 $|\eta_{n}\rangle$ 的概率为
$$ p_{n} = \langle|\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{n}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{E}_{n}|\psi\rangle $$
并且测量后的复合系统的状态为
$$ \frac{\hat{M}_{n}|\psi\rangle\otimes|\eta_{n}\rangle}{||\hat{M}_{n}|\psi\rangle||} $$
系统状态为
$$ \frac{\hat{M}_{n}|\psi\rangle}{||\hat{M}_{n}|\psi\rangle||} = \frac{\hat{M}_{n}|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{n}|\psi\rangle}} $$
非选择测量后的状态为
$$ \begin{aligned} \hat{\rho}’ &= \sum_{n}\langle\psi|\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{n}|\psi\rangle\frac{\hat{M}_{n}|\psi\rangle}{||\hat{M}_{n}|\psi\rangle||}\frac{\langle\psi|\hat{M}_{n}^{\dagger}}{||\hat{M}_{n}\rangle||}\\ &=\sum_{n}\hat{M}_{n}|\psi\rangle\langle\psi|\hat{M}_{n}^{\dagger} \end{aligned} $$
现在将讨论推广到混合态 $\hat{\rho}$ 的情形, 那么广义测量得到结果为 $n$ 的概率为
$$ p_{n} = \text{Tr}\left(\hat{\rho}\hat{E}_{n}\right) $$
并且测量后的状态一定为
$$ \hat{\rho}_{n}’ = \frac{\hat{M}_{n}\hat{\rho}\hat{M}_{n}^{\dagger}}{\text{Tr}\left(\hat{\rho}\hat{E}_{n}\right)} $$
非选择测量则为
$$ \hat{\rho}’ = \sum_{n}\hat{M}_{n}\hat{\rho}\hat{M}_{n}^{\dagger} $$
$\hat{E}_{n}$ 完备性确保了 $\text{Tr}\left(\hat{\rho}’\right) = 1$, 所以 $\hat{\rho}’$ 仍然是合法的密度矩阵.
系统与仪器的复合系统的密度状态为 $|\Psi’\rangle\langle\Psi’|$
$|\Psi’\rangle = \hat{U}|\psi\rangle\otimes|0\rangle$.
因为我们只关心系统状态, 所以就求系统的约化密度矩阵
$$ \hat{\rho} = \text{Tr}_{\text{仪器}}\left(|\Psi’\rangle\langle\Psi’|\right) = \sum_{n}\hat{M}_{n}\hat{\rho}\hat{M}_{n}^{\dagger} $$
在投影测量中, 如果第一次测量为 $n$, 那么第二次测量也必定得到结果 $n$.
广义测量就不一样了. 第一次测量为 $n$, 则系统状态为
$$ |\psi’\rangle = \frac{\hat{M}_{n}|\psi\rangle}{||\hat{M}_{n}|\psi\rangle||} $$
那么第二次测量结果为 $m$ 的概率为
$$ p(m|n) = \langle\psi’|\hat{M}_{m}^{\dagger}\hat{M}_{m}|\psi’\rangle = \frac{\langle\psi\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{m}^{\dagger}\hat{M}_{m}\hat{M}_{n}|\psi\rangle}{\langle\psi|\hat{M}_{n}^{\dagger}\hat{M}_{n}|\psi\rangle} $$
所以第二次测量也有可能得到其他值的概率并不为零. 但是当 $\hat{M}_{m}\hat{M}_{n} = \hat{M}_{n}\delta_{mn}$, 也就是 $\hat{M}_{n}$ 是相互正交的投影算符时, 就会退化成为投影算符.
非选择性测量的系统状态
$$ \hat{\rho}’ = \sum_{n}\hat{M}_{n}\hat{\rho}\hat{M}_{n}^{\dagger} $$
这就是算符的线性变化, 被称为 量子通道.
- 线性性
$$ \epsilon\left(\alpha_{1}\hat{\rho}_{1} + \alpha_{2}\hat{\rho}_{2}\right) = \alpha_{1}\epsilon\left(\hat{\rho}_{1}\right) + \alpha_{2}\epsilon\left(\hat{\rho}_{2}\right) $$
- 厄密性
$$ \hat{\rho}^{\dagger} = \hat{\rho} \Rightarrow \epsilon\left(\hat{\rho}\right)^{\dagger} = \epsilon\left(\hat{\rho}\right) $$
- 正定性
$$ \hat{\rho}\geq 0 \Rightarrow \epsilon\left(\hat{\rho}\right)\geq 0 $$
- 迹不变性
$$ \text{Tr}\left[\epsilon\left(\hat{\rho}\right)\right] = \text{Tr}\left(\hat{\rho}\right) $$
如果 $\hat{\rho}$ 是密度矩阵, 那么 $\epsilon\left(\hat{\rho}\right)$ 也会是密度矩阵.
对于量子开放系统, 密度矩阵随着时间的演化为
$$ \hat{\rho}’ = \epsilon\left(\hat{\rho}\right) = \sum_{a}\hat{M}_{a}\hat{\rho}\hat{M}_{a}^{\dagger} $$