Intro

对于电荷在电磁场中的运动, 我们已经知道

$$ \hat{H} = \frac{1}{2m}(\hat{p} - q\mathbf{A})^{2} + q\varphi $$

$\hat{p} = -i\hbar\nabla$ 是正则动量算符, 满足正则对易关系 $$ \left[\hat{p}_{i},\hat{x}_{j}\right] = -i\hbar\delta_{ij} $$

将其代入到薛定谔方程中, 即有

$$ \left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - q\varphi\right) \psi = \frac{1}{2m}(\hat{p} - q\mathbf{A})^{2} \psi $$

速度算符 $\hat{\mathbf{v}}$ 与 力学动量算符 $\hat{\mathbf{\pi}}$ $$ \hat{v}_{i} = \frac{\hat{\pi}_{i}}{m} = \frac{1}{m}(\hat{p}_{i} - aA_{i}) = \frac{1}{m}\left(\frac{\hbar}{i}\partial_{i} - qA_{i}\right) $$

速度与坐标分量之间的对易关系

$$ [\hat{x}_{i},\hat{v}_{j}] = \left[\hat{x}_{i}, \frac{1}{m}(\hat{p}_{j} - aA_{j})\right] = \frac{i\hbar}{m}\delta_{ij} $$

速度分量之间的对易关系

$$ [\hat{v}_{i}, \hat{v}_{j}] = \frac{i\hbar q}{m^{2}}\epsilon_{ijk}B_{k} $$

如果假定背景为无电场, 磁场不含时且均匀, 那么我们不妨设 $\vec{B} = B\hat{z}$. 为了便于计算, 我们可以令

$$ \varphi = 0;\\ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = 0. $$

所以就可以知道磁场为

$$ \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A} = B\hat{z} $$

经典电荷的运动

我们可以梳理出经典电荷在均匀磁场中的运动特点:

• 沿磁场方向($\hat{z}$), 电荷作匀速运动;
• 垂直磁场方向的平面, 电荷作匀速圆周运动, 角频率可以用

$$ \omega = \frac{qB}{m} $$

来描述;

所以电荷的运动轨迹是螺旋线.

能量本征值

涉及量子的范畴, 当然要回到薛定谔方程来分析.

$$ \hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{\pi}}^{2}}{2m} = \frac{m}{2}(\hat{v}_{x}^{2} + \hat{v}_{y}^{2}) + \frac{m}{2}\hat{v}_{z}^{2} $$

因为磁场有了具体的量, 所以相应地, $\hat{v}_{i}$ 之间的对易关系可以特化为

$$ [\hat{v}_{x}, \hat{v}_{y}] = \frac{i\hbar q}{m^{2}}B\\ [\hat{v}_{x}, \hat{v}_{z}] = [\hat{v}_{y}, \hat{v}_{z}] = 0 $$

根据以上对易关系, 我们可以发现

$$ [\hat{v}_{z}, \hat{H}] = 0 $$

因此 $\hat{v}_{z}$ 和 $\hat{H}$ 将会拥有共同本征态. 所以我们可以得出初步结论:粒子在 $z$ 轴左自由运动, 而和 $x-y$ 平面的运动没有关系.

为了辅助分析, 我们引入参数 $\gamma$ 和算符 $\hat{Q}’, \hat{P}'$

$$ \gamma = \sqrt{\frac{\hbar qB}{m^{2}}} = \sqrt{\frac{\hbar\omega}{m}}\\ \hat{Q}’ = \frac{\hat{v}_{x}}{\gamma}\\ \hat{P}’ = \frac{\hat{v}_{y}}{\gamma} $$

$\hat{Q}’$ 和 $\hat{P}’$ 之间的对易关系: $$ [\hat{Q}’, \hat{P}’] = i $$

所以我们就可以将原本的哈密顿量改写为以下形式:

$$ \hat{H} = \frac{1}{2}\hbar\omega\left(\hat{P}’^{2} + \hat{Q}’^{2}\right) + \frac{m}{2}\hat{v}_{z}^{2} $$

所以我们类比于谐振子形式, 引入产生算符和湮灭算符

$$ \hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}’ + i\hat{P}’)\\ \hat{a}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{Q}’ - i\hat{P}’)\\ $$

产生算符和湮灭算符之间的对易关系: $$ \left[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}\right] = 1 $$

所以就有

$$ \hat{H} = \hbar\omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}) + \frac{m}{2}\hat{v}_{z}^{2} $$

因此借用谐振子相关的结论, 有

$$ E(n, v_{z}) = \underbrace{\hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right)}_{x-y\text{平面的运动}} + \underbrace{\frac{1}{2}mv_{z}^{2}}_{z\text{方向的自由运动}} $$

在这里, 我们将所有给定了 $n$ 的能级对应的能量本征态集合称为第 $n$ 朗道能级.

本征态波函数

在上面的讨论中, 实际上磁矢势 $\mathbf{A}$ 仍然没有被确定下来. 为了得到本征态波函数, 我们需要添加额外的条件

$$ A_{x} = -yB, A_{y} = A_{z} = 0 $$

这种条件被称作 “朗道规范”.

朗道规范的意义: $$ \nabla\cdot\mathbf{A} = 0; \\ \nabla\times\mathbf{A} = -\partial_{y}A_{x}\hat{z} = B\hat{z}. $$

写出朗道规范下的哈密顿算符

$$ \hat{H} = \frac{1}{2m}\left[(\hat{p}_{x}^{2} + yqB)^{2} + \hat{p}_{y}^{2} + \hat{p}_{z}^{2}\right] $$

$\hat{p}_{i} = -i\hbar\partial_{i}$ 为正则动量分量. 正则动量与哈密顿量的对易关系 $$ \left[\hat{p}_{x}, \hat{H}\right] = \left[\hat{p}_{z}, \hat{H}\right] = 0;\left[\hat{p}_{y}, \hat{H}\right] \neq 0. $$

根据上述的对易关系, 我们可以确定存在 $\hat{H}, \hat{p}_{x},\hat{p}_{z}$ 的共同本征态. 结合其函数特征我们写出本征态的函数形式为

$$ \Psi(x,y,z) = e^{i(k_{x}\cdot x + k_{z}\cdot z)}\phi(y) $$

将该形式解代入到薛定谔方程, 就可以得到对分量 $\phi(y)$ 的方程

$$ \left\{\frac{1}{2}\left[(\hbar k_{x} + yqB)^{2}+\hbar^{2}k_{z}^{2}- \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}y^{2}}\right] -E\right\}\phi(y) = 0 $$

为了简化系数表示, 我们约定

$$ y_{0} = -\frac{\hbar k_{x}}{qB}\\ E’ = E - \frac{\hbar^{2}k_{z}^{2}}{2m} $$

所以原方程简化为

$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\phi’’(y) + \left(\frac{1}{2}m\omega^{2}(y - y_{0})^{2} - E’\right)\phi(y) = 0 $$

这个方程形式实际上就是一维谐振子的薛定谔方程, 势能中心点为 $y_{0}$, 圆频率为 $\omega = \frac{qB}{mc}$.

因此其能量本征值为

$$ E_{n}’ = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right) $$

能量本征波函数为

$$ \phi_{n}(y) = H_{n}[\alpha(y - y_{0})]e^{-\frac{\alpha^{2}}{2}(y - y_{0})^{2}} $$

$H_{n}(x)$ 为 Hermite 多项式.

将众结果代回到三维情形, 即有

$$ E_{n, k_{x}, k_{z}} = E’ + \frac{\hbar^{2}k_{z}^{2}}{2m} = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right) + \frac{\hbar^{2}k_{z}^{2}}{2m}\\ \Psi_{n,k_{x},k_{y}}(x,y,z) = e^{i(k_{x}\cdot x + k_{z}\cdot z)}H_{n}[\alpha(y - y_{0})]e^{-\frac{\alpha^{2}}{2}(y - y_{0})^{2}} $$

$$ \alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} = \sqrt{\frac{qB}{\hbar}}\\ a = \frac{1}{\alpha} = \sqrt{\frac{\hbar}{qB}}\\ y_{0} = -\frac{\hbar k_{x}}{qB} = -k_{x}a^{2}. $$

能量本征态波函数在 $x-z$ 方向上为平面波, 而在 $y$ 方向上为 中心位置为 $y_{0}$ 的波包.

波函数通过 $y_{0}$ 依赖于 $k_{x}$, 因此会导致系统能谱有着极大的简并度.

轨道中心算符

经典电荷在均匀磁场中的圆周运动 $$ x(t) = x_{0} + r\cos{(\omega t + \theta)}\\ y(t) = y_{0} - r\sin{(\omega t + \theta)} $$

$x_{0}, y_{0}$ 为圆心坐标, $r$ 为半径, $\theta$ 为初始相位, $\omega = qB/m$ 为角频率.

我们对运动方程进行对时间求导, 即有

$$ v_{x} = x’(t) = -\omega r\sin{(\omega t + \theta)}\\ v_{y} = y’(t) = -\omega r\cos{(\omega t + \theta)}. $$

将上述两个方程组写在一起用来消除三角函数:

$$ x - x_{0} = -\frac{1}{\omega}v_{y}\\ y - y_{0} = \frac{1}{\omega}v_{x} $$

我们可以发现不变量

$$ x_{0} = x(t) + \frac{v_{y}(t)}{\omega}\\ y_{0} = y(t) - \frac{v_{x}(t)}{\omega} $$

其物理意义为轨道的中心位置.

对于量子力学的范畴, 我们则是引入轨道中心位置算符, 将上面的这个式子量子化:

$$ \hat{X}_{0} = \hat{x} + \frac{\hat{v}_{y}}{\omega}, \hat{Y}_{0} = \hat{y} - \frac{\hat{v}_{x}}{\omega} $$

$\hat{x}, \hat{y}$ 为粒子的位置算符, 而 $\hat{v}_{x}, \hat{v}_{y}$ 则是粒子的速度算符.

因为我们已经知道对易关系

$$ \left[\hat{x}_{\alpha}, \hat{v}_{\beta}\right] = \frac{i\hbar}{m}\delta_{\alpha\beta}\\ \left[\hat{v}_{\alpha}, \hat{v}_{\beta}\right] = \frac{i\hbar q}{m^{2}}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}B_{\gamma} $$

所以我们可以知道

$$ \left[\hat{H}, \hat{X}_{0}\right] = \left[\frac{1}{2m}\hat{\mathbf{\pi}}^{2}, \hat{x} + \frac{\hat{v}_{y}}{\omega}\right] = \frac{m}{2}\left[\vec{v}^{2}, \hat{x} + \frac{\hat{v}_{y}}{\omega}\right]\\ = \frac{1}{2}m[\hat{v_{x}^{2}}, \hat{x}] + \frac{1}{2}m\left[\hat{v}_{x}^{2} + \frac{\hat{v}_{y}}{\omega}\right]\\ = - m \cdot \frac{i\hbar}{m}\cdot\hat{v}_{x} + m\cdot\frac{1}{\omega}\cdot\frac{i\hbar qB}{m^{2}}\hat{v}_{x}\\ = i\hbar\cdot\hat{v}_{x}\underbrace{\left( -1 + \frac{1}{\omega}\frac{qB}{m}\right)}_{0} = 0 $$

同理, $\left[\hat{H}, \hat{Y}_{0}\right] = 0$.

而对于中心算符本身, 则有

$$ \left[\hat{X}_{0}, \hat{Y}_{0}\right] = \left[\hat{x} + \frac{\hat{v}_{y}}{\omega}, \hat{y} - \frac{\hat{v}_{x}}{\omega}\right]\\ = \frac{1}{\omega}[\hat{v}_{y}, \hat{y}] - \frac{1}{\omega}[\hat{x}, \hat{v}_{x}] - \frac{1}{\omega^{2}}[\hat{v}_{y}, \hat{v}_{x}]\\ = \frac{1}{\omega}\left(\frac{-i\hbar}{m}-\frac{i\hbar}{m}\right) + \frac{1}{\omega^{2}}\frac{i\hbar q}{m^{2}}B\\ = -\frac{i\hbar}{m\omega} = -\frac{i\hbar}{qB} = -ia^{2} $$

$a = \sqrt{\frac{\hbar}{qB}}$

根据海森堡不确定性原理, 有

$$ \Delta X_{0}\Delta Y_{0}\geq\frac{1}{2}\left|\left\langle\left[\hat{X}_{0}, \hat{Y}_{0}\right]\right\rangle\right| = \frac{1}{2}a^{2} $$

所以我们无法同时确定轨道中心的两个坐标 $X_{0}, Y_{0}$. 如果 $xy$ 方向对称, 那么 $X_{0}, Y_{0}$ 的不确定都大约为 $a$.

而具体到朗道规范中, 我们重新表述轨道中心算符的形式:

$$ \begin{aligned} & \hat{v}_{x} = \frac{1}{m}\left(\hat{p}_{x} - q\hat{A}_{x}\right) = \frac{1}{m}(\hat{p}_{x} + qB\hat{y})\\ & \hat{v}_{y} = \frac{1}{m}\left(\hat{p}_{y} - q\hat{A}_{y}\right) = \frac{1}{m}\hat{p}_{y}\\ & \hat{X}_{0} = \hat{x} + \frac{\hat{v}_{y}}{\omega} = \hat{x} + \frac{1}{m\omega}\hat{p}_{y}\\ & \color{red}{\hat{Y}_{0}} = \hat{y} - \frac{\hat{v}_{x}}{\omega} = \hat{y} - \frac{1}{m\omega}(\hat{p}_{x} + qB\hat{y}) = -\frac{\color{red}{\hat{p}_{x}}}{m\omega}. \end{aligned} $$

可以观察到, 朗道规范下的 $\hat{Y}_{0}$ 与 $\hat{p}_{x}$ 只相差一个非零系数, 所以可以轻松的到其本征态和本征值. $$ Y_{0} = -\frac{1}{qB}p_{x} = -\frac{\hbar k_{x}}{qB} = -a^{2} k_{x} $$

所以 $y$ 方向的轨道中心坐标 $Y_{0}$ 其实是完全确定的, 而 $x$ 方向的轨道中心坐标 $X_{0}$ 则是不确定的.

朗道能级的简并度

设系统为大小为 $D_{x}\times D_{y}$ 的矩形, 因为我们已经知道系统在 $x$ 方向为平面波, 所以我们需要在 $x$ 方向上附加周期性边界条件.

$$ e^{ik_{x}\cdot D_{x}} = 1 \Rightarrow k_{x}\cdot D_{x} = 2\pi n_{x}(n_{x} \in \mathbb{Z}) $$

相邻的 $k_{x}$ 间隔为 $$ \Delta k_{x} = \frac{2\pi}{D_{x}} $$

而轨道中心坐标又由 $k_{x}$ 完全确定:

$$ Y_{0} = -k_{x}a^{2} = -\frac{2\pi n_{x}}{D_{x}} a^{2} $$

而 $Y_{0}$ 应当在矩形内部, 所以即有新的约束条件

$$ 0\leq Y_{0}\leq D_{y}\\ \Rightarrow 0\leq -\frac{2\pi n_{x}}{D_{x}}a^{2}\leq D_{y}\\ \Rightarrow 0\leq -n_{x}\leq \frac{D_{x}D_{y}}{2\pi a^{2}} $$

所以每个朗道能级的简并度为 $D_{x}D_{y}/2\pi a^{2}$, 在宏观层面这个简并度极大.