全同性和对称性

对于多粒子体系, 我们可以将单单变量波函数扩展为 $N$ 变量波函数, 该波函数可以通过乘上某系数进行归一化.

某系统中具有两个电子, 可以被看作是两个独立波函数 $\psi_{1}(x_{1})$ 和 $\psi_{2}(x_{2})$, 则 $\psi(x_{1},x_{2})=\psi_{1}(x_{1})\psi_{2}(x_{2})$. 用狄拉克标记即为 $|\psi_{1}\rangle|\psi_{2}\rangle$. 其坐标表象可以通过 $$ (\langle x_{1}|\langle x_{2}|)(|\psi_{1}\rangle|\psi_{2}\rangle) = \langle x_{1}|\psi_{1}\rangle\langle x_{2}|\psi_{2}\rangle = \psi_{1}(x_{1})\psi_{2}(x_{2}) $$ 导出.

对于全同性粒子, 有一个重要的概念是全同性.

我们使用系数 $\zeta$ 来描述交换对称性和交换反对称性.

• $\zeta = +1$, 即服从玻色统计, 交换对称. 自旋为整数, 因为可以多个全同粒子同时处于同一个量子态, 所以在低温可以出现凝聚现象.常见的玻色子: 光子.

• $\zeta = -1$, 即服从费米统计, 交换反对称, 自旋为半整数. 满足泡利不相容原理, 即费米子不会出现在同一量子态中. 常见的费米子: 电子, 中子, 质子.

物质粒子都是费米子, 传递力作用的粒子都是玻色子.

我们对一个含两个费米子的系统进行描述, 分别处于 $\psi_{1}(\vec{r})$ 和 $\psi_2(\vec{r})$, 进行反对称化构造:

$$ \Psi(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1}(\vec{r_1})\psi_{2}(\vec{r_2})-\psi_{2}(\vec{r_{1}})\psi_{1}(\vec{r_{2}}))=\frac{1}{\sqrt{2}} \left| \begin{array}{cccc} \psi_{1}(\vec{r_{1}}) & \psi_{1}(\vec{r_{2}}) \\ \psi_{2}(\vec{r_{1}}) & \psi_{2}(\vec{r_{2}}) \\ \end{array} \right| $$

可以观察到, 如果交换 $\vec{r_{1}}$ 和 $\vec{r_{2}}$, 波函数就会反号, 这符合费米子的定义.

如果数量继续增加, 比如三个:

$$ \Psi(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}},\vec{r_{3}})=\frac{1}{\sqrt{3!}} \left| \begin{array}{cccc} \psi_{1}(\vec{r_{1}})&\psi_{1}(\vec{r_{2}})&\psi_{1}(\vec{r_{3}})\\ \psi_{2}(\vec{r_{1}})&\psi_{2}(\vec{r_{2}})&\psi_{2}(\vec{r_{3}})\\ \psi_{3}(\vec{r_{1}})&\psi_{3}(\vec{r_{2}})&\psi_{3}(\vec{r_{3}})\\ \end{array} \right| $$

从而归纳得到 $N$ 个全同费米子的波函数为:

$$ \Psi(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}},…,\vec{r_{N}}) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \left| \begin{array}{cccc} \psi_{1}(\vec{r_{1}}) & \psi_{1}(\vec{r_{2}}) & \cdots & \psi_{1}(\vec{r_{N}}) \\ \psi_{2}(\vec{r_{1}}) & \psi_{2}(\vec{r_{2}}) & \cdots & \psi_{2}(\vec{r_{N}}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \psi_{N}(\vec{r_{1}}) & \psi_{N}(\vec{r_{2}}) & \cdots & \psi_{N}(\vec{r_{N}}) \\ \end{array} \right|. $$

用统计观点来看待 $\frac{1}{\sqrt{N!}}$ 系数的产生

任意两个费米子的坐标 $\vec{r_{i}}$ 和 $\vec{r_{j}}$ 都是不同的, 且交换后波函数反号. 那么这就是一个排列数问题, 即对于 $N$ 个费米子, 存在着 $A_{N}^{N} = N!$ 中排列方式.

又因为我们要求波函数具有归一性, 即波函数做内积为$1$, 而每一个独立的 $\Pi_{i}\psi_{i}$ 其内积为 $1$, 而这样的 $\Pi_{i}\psi_{i}$ 一共有 $N!$ 个, 所以我们需要除以 $N!$ 使得波函数具有归一性. $N!$ 几何平均到波函数上, 就得到了 $\frac{1}{\sqrt{N!}}$ 系数.

由此我们得到了全同费米子的波函数.

而对于玻色子, 情况就要简单得多, 因为交换时不产生负号. 那么我们可以用最简单的方式写出系统的波函数:

$$ \Psi(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}},…,\vec{r_{N}}) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{P}\prod_{i}\psi_{P_{i}}(\vec{r_{i}}) $$

$P$ 指 $N$ 个粒子所有可能的置换

我们前面提到过可以用 $\zeta$ 来描述交换对称性和交换反对称性, 那么我们可以将同一的式子来描述多粒子体系:

$$ \Psi(\vec{r_{1}},\vec{r_{2}},…,\vec{r_{N}}) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{P}\zeta^{P}\prod_{i}\psi_{P_{i}}(\vec{r_{i}}) $$

由此我们得出了多体波函数的斯莱特行列式(Slater Determinant)形式.

粒子数表象&Fock Space

即使只是抄写多体波函数的表达式, 也会让人丧失计算的欲望. 更简洁的方法是使用占据数, 或者被称为粒子数表象的方法.

我们无需知道哪个粒子在哪一个具体的态上, 只需要知道每一个态上有多少个粒子就可以了. 比如我们写作

$$ |n_{1},n_{2},…,n_{i},…n_{N}\rangle, (\sum_{i}n_{i}=N) $$

就是表达第一个态上有 $n_{1}$ 个粒子, 第二个态上有 $n_{2}$ 个粒子, 以此类推. 这样的表述同样能够构造出多粒子波函数.

粒子观点和场观点

这一段内容来自于知乎答主 Kyle Zhang 在二次量子化算是量子场论吗?中的回答.其中的内容通俗有趣.

“明天有冷空气过境"就不叫场观点, 这叫粒子观点, 因为它描述了一团粒子在时空背景上的运动.(Lagrangian Description)

但对于同一件事情, 天气预报员若换一种说法:“明天本地的温度将会降低”.

这就叫场观点, 因为它描述了温度在某一固定点上的值, 把各个点上的温度汇总起来就形成了一个"温度场”.(Eulerian Description)

Lagrangian 描述就像随波逐流的小船, 描述一个具有内禀性质的实体的运动:苹果从树上落到了牛顿的头上; Eulerian 描述就像抛了锚的小船, 描述在一个固定点某个性质的变化: 树上湮灭了一个苹果, 牛顿的头上产生了一个苹果.